伯努利不等式

伯努利不等式

伯努利不等式是说：对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，

有(1+x)^n≥1+nx成立；

如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x成立。

可以看到在n=0,1，或x=0时等号成立，而对任意正整数n≥2和任意实数x≥-1，x≠0，有

严格不等式：

(1+x)^n＞1+nx。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

编辑本段

证明

设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.

证明:

用数学归纳法:

当n=1,上个式子成立360问答,

设对n-1,有:

(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,

则

(1+x)^n

=(1+x)^(n-1)(1+x)

>=[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2

>=1+nx

就是对一切的自然数,当

x>=-1,有

(1+x)^n>=1+nx

下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

若r≤0或r≥1，有(轮宽向克精条山缩听轻1+x)^r≥1+rx

若0≤r≤1，有(1+x)^r≤1+rx

这个不等式可以直接通过脸轴植微分进行证明，方法如下：

如果r=0，1，则结论是显然的

如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx),那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)审能跑还元假也仅句装-r,则f'(x)扬效掌家好在克席限已=0<==>x=0;

下面分陆弱上曲吸照情况讨论：

1.0<r<1，则对于x>0，f'(x)<0；对于胡界烟术?1<x<0，f'(x)>0。家很部及误吧占协货快垂因此f(x)在x=0处取最大值0，故得(1+x)^r≤1+rx。

2.r<0或r>1，则对于x>0，f'(x)>0；对于?1<x<0，f'(x)<0。因此f(x)在x=0处取最小值0，故得(1+x)^r≥1+rx

证毕