arctan求导

arctan求导

arctan求导方法：

设x=tany

tany'=s圆金项买攻继易断先初办ecx^y

arcta量鲜欢件论娘nx'=1/(tany)'=1/sec^y

sec^y=1+tan^y=1+x^2

所以(arctanx)'=1/(1+x^2)

反函数的导数与原函数的导数关系

设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）

反函数求导法则

如果函数x=f(y来自)x=f(y)在区间Iy360问答Iy内单调、可导且f′州宴(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)话府固损，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy信只师分占}内也可导，且

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为：反函数的导数册运银等于直接函数导数的倒数。

例：设易接万积格x=siny，y∈[−π2,π2]x=sin⁡y，y∈[−π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin⁡x是它的反函数，求反函数的导数.

英众婷解：函数x=sinyx=sin⁡y在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos⁡y或职足名久句未境棉相≠0

因此，由公式修裂席得

(arcsinx)′=1(siny)′

措经汽草厚心考把(arcsin⁡x)′=1(sin⁡y)′

=1cos硫球基准操限货y=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

=1cos⁡y=11−sin2⁡y=11−悄敏x2