什么是正交变换？

什么是正交变换？

1.正交变换x=Py:指矩阵P是正交矩阵，即P的列(行)向量两两正交,且长度为1席径这。

正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E,即P^（-1）=P^T.

2.正交变换的作用：

①正交零坏该变换可以化二次型为标准型。在二次型中，我们希望找到一个可逆矩阵C，经可逆变换下植架失川x=Cy，使二次型f=x^TAx=（Cy）^TACy=y^T（C^TAC）y变成标准型，也就是要使C^TAC为对角阵。

由实对称矩阵的对角化知晶庆进座滑色留括样，任给对称阵A，总有正交矩阵P，使P^（-1）AP为对角阵,因为蚂哗改正交矩阵P^（-1）=P^T，所以P^TAP为对角阵。

这样，如果我用的是正交变换调己握煤助序行审儿构让x=Py，不就可以把二次型f=x^TAx化为f=y^T（P^TAP）y=y^T（P^（-1）AP）y=y^TΛy（其中，Λ为对角阵）了360问答吗。如此一来，就用正交变换实现了二次型的标准化。

这是正交变换的第闷判一个作用。

②正交变换可以研究图形各乱九力跳品引的几何性质。因为正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E，所以对于正交变换x=Py，有|x|=√（x^Tx）=√（y^TP^TPy）=√（y^Ty）=|y|.其中，|x|表示向量x的脱封外歌血放国采讨杂长度。

由此可见，经过正交变露者换后，|x|=|兰主宁你现围外除士便粮y|，即向量长度保持不变。

同理可证=，其中，>表示两向量的内积。即两向量经同一正交变换后，两向量的内积不变，而刚刚证过，他们的长度也不变，所以两向量的交角不变。

由于正交变换保持向量长度、内积不变，因而保持两向量夹角及正交性不变。因此施以正交变换后，图形的几何形状不变，可以利用正交变换研究图形的几小乡助粒较还露州条齐何性质。

这是正交变换的第二个作果另袁呀随用。

完～打字好累～哦～

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