函数的概念，什么是函数

函数的概念，什么是函数

函数的定买孔义

函数的传统定义:

设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某360问答一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称济木随问y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的近代定义:

设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为:

x是自钟变量，它是法则所施加的对象;f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述;y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f结苦针失用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

对函数概念的理解

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发乡序决培提，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

由函数的近代定义可知，函数侵微概念含有三个要素:定含到象倒判外死停造误义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本亮景院广剂花活想质特征。y=f(x)的意义是解呀王头济服环原福客:y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y而气态频染德台片天外妒的纽带，所以是函数的核心低。至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。

函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺哥子至列红哥少的组成部分。当函每还升故往木数的定义域及从定义域到值域的向志跟出急对应法则完全确定之宽义州层后，函数的值域也就随之确定了。因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说:

1)定义域不同，两红吃报侵个函数也就不同;

2)对应法则不同，两个函数也是不同的;

3)即给右浓推论非技看念使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。

例如:函数y=x+1与y=2x+1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。

定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。

例如:在①y=x与，②与，③y=x+1与，④y=x0与y=1，⑤y=|x|与这五组函数中，只有⑤表示同一函数。

f(x)与f(a)的区别与联系

f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量。而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常数。

当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。

比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式;而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。