平方和公式是怎么来的.

平方和公式是怎么来的.

问题补充说明：n(n+1)(2n+1)/6是怎么推算出来的

数学归纳法可以证

也可以如下做比较有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^2

=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

所360问答以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*后场景批长且施曾蒸较苗3*4-1*2*3亮+....+n(n陆提升雷系效算相+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消项]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2阳鸡律乱赶修格均+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2急消固价脸欢识第应快)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

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利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)担满生门]

=n^2+(n鲁少乱均测-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-开冷渐做伯河2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n么还室静传女赵在举-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+待谁便述3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n卷义地七-1)^2]-(2+3+4脚手宽+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...新祖介老+(n-1)^2+n^2]-北什亲额以生封器百将车n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+值来水雷谁境能视响2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+赵张载阻范n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(着连序n/2)(2n^2+2n云罗火功困展族以+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，

第一行1个圈，圈内的数字为1

第二行2个圈，圈内的数字都为2，

以此类推

第n行n个圈，圈内的数字都为n，

我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r

下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形

再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形

然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，

我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1

而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和

1+2+……+n=n(n+1)/2

于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)

r=n(n+1)(2n+1)/6